Родился 29 апреля 1924 года в селе Томаровке, в крестьянской семье. До 1939 года учился в школе, окончил 7 классов. До июня 1941 года работал в колхозе.
По возрасту в первый год войны в армию не призвали, а после освобождения села Томаровки, в августе 1943 года, был призван в армию зенитчиком.
Участвовал в защите аэродромов союзников-американцев от налётов немецких самолётов в пос. Пирятино Полтавской области. Затем попал на Юго-Западный фронт на Балканы – воевал в Болгарии, Румынии, Венгрии, Югославии, где участвовал в защите наземных Советских войск от налётов немецкой авиации.
В 1945 году участвовал в боевых действиях в Югославии по ликвидации «заговорщиков», которые намеривались сместить маршала Югославской народной армии союзника России Броз Тито, за что был награждён югославским боевым орденом «Красная Звезда».
Быков Николай Матвеевич награждён орденом Великой Отечественной войны II степени, медалью «За Победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.».
После демобилизации с 1947 года до пенсии работал в колхозе «Дружба».
За трудовые успехи в 1970 году награждён медалью «За доблестный труд» в ознаменование 100-летия со дня рождения Владимира Ильича Ленина».
Умер 1 апреля 2012 года.
